The Big Bang Theory, la serie de televisión y los números primos

Manon Bischoff*

El episodio número 73 de la serie The Big Bang Theory es desde hace tiempo especial para los matemáticos. «¿Cuál es el mejor número de todos?», pregunta Sheldon a Raj, Howard y Leonard. «Por cierto, solo hay una respuesta correcta», les advierte. «El mejor número es el 73», acaba contestando el brillante pero impertinente físico.

La explicación que sigue es un festín para los amantes de los números: «El 73 es el 21.^er número primo. Al invertir sus cifras obtenemos 37, que es el primo número 12. Y al invertir este obtenemos 21, que es el producto de —agarraos fuerte— 7 y 3». Pero lo que provocó la risa en los otros personajes de la serie y en muchos espectadores hizo reflexionar a los matemáticos. ¿Existen otros «primos de Sheldon» con esas características?

El episodio número 73 de la serie The Big Bang Theory es desde hace tiempo especial para los matemáticos. «¿Cuál es el mejor número de todos?», pregunta Sheldon a Raj, Howard y Leonard. «Por cierto, solo hay una respuesta correcta», les advierte. «El mejor número es el 73», acaba contestando el brillante pero impertinente físico.

La explicación que sigue es un festín para los amantes de los números: «El 73 es el 21.^er número primo. Al invertir sus cifras obtenemos 37, que es el primo número 12. Y al invertir este obtenemos 21, que es el producto de —agarraos fuerte— 7 y 3». Pero lo que provocó la risa en los otros personajes de la serie y en muchos espectadores hizo reflexionar a los matemáticos. ¿Existen otros «primos de Sheldon» con esas características?

En 2015, cinco años después de la emisión del episodio de The Big Bang Theory, Spicer y otros dos investigadores introdujeron la definición de «primo de Sheldon»: el n-ésimo número primo p_n será un primo de Sheldon si cumple que el producto de sus dígitos es n y si, además, el número que se obtiene al invertir sus cifras, rev(p_n), es el rev(n)-ésimo número primo; es decir, si rev(p_n)=p_rev(n). En términos algo más sencillos, si abcd es el xyz-ésimo número primo (cada letra es aquí un dígito), diremos que abcd es un primo de Sheldon si cumple que a×b×c×d = xyz y si, además, dcba es el zyx-ésimo número primo.

Spicer y sus colaboradores se dispusieron a comprobar si tales condiciones se cumplían para los primeros diez millones de primos. Al hacerlo, hallaron que solo el 73 satisfacía ambas propiedades a la vez. Eso les llevó a conjeturar que el 73 sería el único primo de Sheldon. No obstante, la prueba final de Pomerance y Spicer aún tardaría varios años en llegar.

En el nuevo trabajo, los matemáticos comienzan observando que no puede existir ningún primo de Sheldon mayor que 10⁴⁵. Esta conclusión se deduce de un famoso resultado de 1896 conocido como «teorema de los números primos», el cual permite acotar la cantidad mínima de números primos que puede haber en un intervalo dado. Dicho teorema implica que unas de las condiciones de Sheldon —que el producto de los dígitos de p_n dé como resultado n— ya no puede cumplirse para números mayores que 10⁴⁵. Ello se debe a que, si p_n es mayor que 10⁴⁵, el número n de primos comprendidos en el intervalo [2, p_n] siempre será mayor que el producto de los dígitos de p_n.

Dicha conclusión constituye uno de los puntos centrales del trabajo, ya que, aunque 10⁴⁵ sea un número inimaginablemente grande, se trata de una cantidad finita. Eso significa que, al menos en principio, bastaría con usar un ordenador para examinar sistemáticamente todos los números primos comprendidos entre 2 y 10⁴⁵ y comprobar si entre ellos hay o no otros primos de Sheldon.

No obstante, algo así continúa siendo impracticable si no se dispone de ningún truco para simplificar el problema: un algoritmo capaz de analizar números de 45 dígitos constituye todo un reto incluso para las mejores máquinas. Así las cosas, Pomerance y Spicer fueron reduciendo el número de candidatos mediante varias técnicas, como el uso de integrales para aproximar números primos extremadamente grandes. De esta manera consiguieron reducir gradualmente el número de posibilidades hasta que, al final, solo quedó el 73.

Cuando David Saltzberg, físico y asesor científico de The Big Bang Theory, se enteró de la demostración de los investigadores, decidió rendirles un pequeño homenaje: en un episodio emitido en abril de este año hay una escena en la que al fondo aparece una pizarra y, si el espectador se fija con atención, podrá ver en ella algunos de los cálculos de la demostración de Pomerance y Spicer. «Es como un espectáculo dentro de un espectáculo», ha comentado Pomerance en declaraciones recogidas por la Universidad Dartmouth. «No tiene nada que ver con la trama del episodio. Aparece al fondo y es difícil de ver. Pero si sabes lo que buscas, descubres nuestro artículo.»

* Es física y redactora de Spektrum der Wissenschaft, la edición alemana de Scientific American.